解答题:

在△ABC 中，∠A=30°，AB=√3，BC=1。

（1）求∠C；

（2）求△ABC 的面积。

答案：（1）∠C=60° 或 120°；（2）面积为√3/2 或√3/4。

解析： （1）由正弦定理 BC/sinA=AB/sinC，代入得 1/sin30°=√3/sinC，即 1/(1/2)=√3/sinC，解得 sinC=√3/2。因 AB＞BC，故∠C＞∠A，∠C 为锐角或钝角，即∠C=60° 或 120°。

（2）当∠C=60° 时，∠B=180°-30°-60°=90°，面积 = 1/2×AB×BC×sin∠B=1/2×√3×1×1=√3/2；当∠C=120° 时，∠B=180°-30°-120°=30°，面积 = 1/2×√3×1×sin30°=1/2×√3×1×1/2=√3/4。

设函数 f (x)=x³+x-1。

（1）求 f (x) 的单调区间；

（2）求出一个区间 (a,b)，使得 f (x) 在区间 (a,b) 存在零点，且 b-a=0.5。

答案：（1）单调递增区间为 (-∞,+∞)；（2）区间 (0.5,1)。

解析：（1）求导得 f’(x)=3x²+1，因 3x²≥0，故 f’(x)≥1＞0，函数在全体实数范围内单调递增，无递减区间。

（2）计算 f (0.5)=0.5³+0.5-1=0.125+0.5-1=-0.375＜0，f (1)=1³+1-1=1＞0，由零点存在定理可知，函数在 (0.5,1) 内存在零点，且 1-0.5=0.5，满足区间长度要求。已知 {aₙ} 是等差数列，且 a₂=-2，a₄=-1。

（1）求 {aₙ} 的通项公式；

（2）求 {aₙ} 的前 n 项和 Sₙ。

答案：（1）aₙ=(1/2)n-3；（2）Sₙ=(1/4)n²-(11/4)n。

解析：（1）设等差数列公差为 d，由 a₄-a₂=2d，代入 a₂=-2、a₄=-1 得 - 1-(-2)=2d，解得 d=1/2。又 a₁=a₂-d=-2-1/2=-5/2，通项公式为 aₙ=a₁+(n-1) d=-5/2+(n-1)×1/2=(1/2) n-3。

（2）前 n 项和 Sₙ=n (a₁+aₙ)/2，将 a₁=-5/2、aₙ=(1/2) n-3 代入得：Sₙ=n [(-5/2)+(1/2) n-3]/2=n [(1/2) n-(11/2)]/2=(1/4) n²-(11/4) n。

已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O，焦点在 x 轴上，长轴长为 8，焦距为 2√7。（1）求 E 的标准方程；

（2）若以 O 为圆心的圆与 E 交于四点，且这四点为一个正方形的四个顶点，求该圆的半径。

答案：（1）x²/16 + y²/9=1；（2）半径 = 12√2/5。

解析：（1）椭圆长轴长 2a=8，故 a=4；焦距 2c=2√7，故 c=√7。由椭圆性质 b²=a²-c²，得 b²=16-7=9，因焦点在 x 轴上，标准方程为 x²/16 + y²/9=1。

（2）设圆的半径为 r，圆的方程为 x²+y²=r²。因圆与椭圆交于四点且构成正方形，正方形顶点横纵坐标绝对值相等，设顶点为 (x,x)，代入圆方程得 x²+x²=r²，即 x²=r²/2。将 (x,x) 代入椭圆方程：x²/16 + x²/9=1，把 x²=r²/2 代入得 (r²/2)/16 + (r²/2)/9=1，整理得 r²(1/32 + 1/18)=1，计算得 r²(9+16)/288=1，即 r²=288/25，故 r=12√2/5（半径为正，取正值）。